Инфо:
Данная статья ставит своею целью однозначное доказательство необходимости написания слова «аниме» через "e".
Путём некоторого количества перебора слов в словаре Ожегова (формат словаря — новое слово на новой строке).

Было обнаружено, что в русском языке нет ни одного слова, которое бы кончалось на «согласная»+'э'.

Зато есть некоторое количество слов, которые хоть и читаются с [э] на конце, пишутся через ‘е’. Их 28. (из списка по очевидным соображениям убраны слова оканчивающиеся на ц/ж/ш + е).

Список:
Анданте, амбре, аутодафе, безе, варьете, галифе, гофре, декольте, деюре, кабаре, карате, каре, кафе, кашне, купе, кюре, макраме, мулине, пенсне, портмоне, пюре, резюме, реноме, тире, турне, форте, шоссе, эссе.

Отдельно хочу из этого списка выделить следующие: макраме, резюме, реноме, карате.

Первые три — потому что имеют концовку на «-ме», но читаются на [-мэ].

Четвёртое (карате), потому что оно единственное слово японского происхождения сходной структуры с интересующим нас «аниме», и при этом присутствующее в словарях.

Кроме того, интересно наблюдать как некоторое время назад шла борьба между написаниями «каратэ» и «карате». Ещё в Ожегове конца восьмидесятых это слово пишется как «каратэ». В современных же словарях — однозначное написание «карате». По мере «обрусения» слова, оно естественным образом приводилось к написанию, укладывающемуся в рамки языка, и дающему свободу словообразованию.

Теперь немного об единственном аргументе в пользу «анимэ» (точнее, единственном аргументе, имеющим под собою хоть какое-то основание).

Согласно киридзи Поливанова (методу транскрипции японской речи русскими буквами), слово [anime] katakana. должно однозначно транскрибироваться как «анимэ». Так же как и «каратэ». Соответственно, если слово используется как японское (т.е. не является частью русского языка), то должно писаться согласно правилам транскрипции.

Но аниме — это русское слово! В смысле, уже является частью русского языка. Породило целое семейство однокоренных слов анимешник, анимешница, анимка, анимешное, анимешничать. Некоторые из которых уже используются далеко за пределами круга общения самих анимешников.

И как русское слово оно пишется согласуясь с правилами уже русского языка, а не правилами транскрипции.